La matematica del Poker

L'opinione di alcuni principianti è che il successo è costituito in gran parte dalla fortuna. Citando un Pro, si può confermare, che i tornei non si vincono a colpi di sfiga. Ma quanto conta?

Mica l'algebra...

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Molti professionisti attestano alla fortuna il 20% e non vorremmo contraddire quelli, che hanno vinto milioni. Quindi, per essere vincenti nel lungo periodo basterebbe imaparare a controllare il rimanente 80% ed essere un po' fortunati. Una buona parte del 80% del totale è indubbiamente la matematica e tutto quello che ne deriva.
Data l'enorme popolarità di questo gioco e che ogni giorno esso trova nuovi fan, è chiaro che molti di loro non saprebbero nemmeno definire il prodotto di due frazioni, figuriamoci risolvere equazioni come la seguente:

Combinazioni delle Mani a Poker

Essa non è estranea al poker e il punto esclamativo non è un'esclamazione, mentre il risultato dell'equazione è l'insieme delle possibili mani di partenza, che possono avere gli avversari. Insomma, d'ora in avanti, salvo delle rare eccezioni, eviteremo le equazioni complesse, fornendo solo i risultati finali, sia per risparmiare lo spazio, sia per non confondere le idee forse già confuse.

Base

Tutti sappiamo, che vengono usate 52 carte. Questo significa che esistono 1326 mani di partenza, ma vista l'uguaglianza tra semi diversi, sono 169 mani. Primo quesito che molti si pongono è: "che probabilità si hanno di avere due assi in mano?" Sono 4 gli assi e quindi 6 le loro combinazioni in quanto si possono presentare in coppie diverse: A♥A♠, A♥A♦, A♥A♣, A♠A♦, A♠A♣, A♦A♣. Ora, si può definire la probabilità di avere una di queste mani: 6/1326=1/221=0,005%. Esistono anche modi alternativi di calcolare, ma il risultato è il medesimo 1 su 221 o circa mezzo per cento.

Calcolo preciso delle chance

Probabilmente conoscete il concetto del Valore Atteso, detto anche Expected Value (nel caso contrario, vi invitiamo a leggere l'articolo Expected Value - Parte I) e magari usate dei software per determinarlo (l'argomento, che affronteremo in futuro). EV si basa principalmente su due fattori:

  • guadagno e investimento;
  • probabilità di vincere.

Sapete quello che dovete investire e quello che eventualmente vincerete; calcolare le chance di vincere è invece più difficile. Non si tratta solo di stabilire le probabilità che una delle outs arrivi al river, ma anche capire se alla fine ciò sarà sufficiente. Può risultare difficile sopratutto preflop, perché si conoscono solo le proprie 2 carte, quindi sono 1225 le possibili combinazioni fronteggiate, e spesso anche il seme fa la differenza. Questo non basta a fermare la potenza di un programma, quale in pochi secondi può definire le chance di vincere, perdere o pareggiare nello scontro HU. Ma aumentando gli avversari, anche le variazioni si moltiplicano vertiginosamente. A un tavolo sappiamo che possono sedere contemporaneamente 10 giocatori di cui quindi 9 sono gli avversari. Le variazioni delle mani di partenza sono elencate sotto:

Avversari Possibili combinazoni fronteggiate  
1 1225  
2 690900  
3 238360500  
4 56372258250  
5 ≈9707300000000  (oltre 9 bilioni)
6 ≈1262000000000000  (oltre 1 biliardo)
7 ≈126740000000000000  (oltre 126 biliardi)
8 ≈9980400000000000000  (quasi 10 trilioni)
9 ≈622110000000000000000  (oltre 622 trilioni)

Sono state volutamente omesse l'uso delle potenze, perché così rende meglio l'idea! Come vedete, in un tavolo pieno, potreste trovarvi di fronte a 622 trilioni di mani diverse! Ricordiamoci, che è ancora sconosciuto il board, quindi nel tavolo pieno tutti i possibili svolgimenti sono:

21.170.000.000.000.000.000.000.000.000 (oltre 21 quadriliardi)

Tale numero di variazioni non è alla portata di nessun PC, ma se esistesse uno in grado di effettuare 1 bilione di calcoli al secondo, sarebbero necessari oltre 670 milioni di anni per valutare tutte le variazioni e stabilire le chance di ogni giocatore! Ventuno quadriliardi non è ancora il numero più grande del poker. Basta supporre di essere l'osservatore del tavolo e quindi non conoscere nessuna delle 52 carte: il resto lo lasciamo alla vostra immaginazione! Questo significa che nessun calcolatore di probabilità potrà fornire dati assolutamente precisi, e infatti, di solito si tratta solo delle stime, che si basano sulla simulazione di alcuni migliaia o milioni di svolgimenti casuali.

L'importanza del kicker

Anche il kicker è stato l'oggetto di un articolo recente, ove sono state accennate alcune percentuali abbastanza generiche. Per ribadire il concetto dell'importanza del kicker, proponiamo una tabella dove sono indicate le precise probabilità di trovare il kicker superiore nelle mani dell'oppo.

Situazione: hero ha in mano Ax, dove la variabile x è il kicker che varia da 2 a K (A escluso in quanto non sarebbe un kicker, ma formerebbe la coppia). Il quesito: qual è la probabilità di non avere avversari con Ay, dove y sia superiore a x? Il risultato dipende da 2 fattori: il valore del kicker x e il numero degli avversari. Ecco, tutte le possibili situazioni:

Ax Contro 1 Contro 2 Contro 3 Contro 4 Contro 5 Contro 6 Contro 7 Contro 8 Contro 9
AK 0,245% 0,489% 0,733% 0,976% 1,219% 1,460% 1,702% 1,942% 2,183%
AQ 1,224% 2,434% 3,629% 4,809% 5,974% 7,126% 8,263% 9,386% 10,496%
AJ 2,204% 4,360% 6,468% 8,529% 10,545% 12,517% 14,445% 16,331% 18,175%
AT 3,184% 6,266% 9,250% 12,139% 14,937% 17,645% 20,267% 22,850% 25,263%
A9 4,163% 8,153% 11,977% 15,642% 19,154% 22,520% 25,745% 28,837% 31,799%
A8 5,143% 10,021% 14,649% 19,038% 23,202% 27,152% 30,898% 34,452% 37,823%
A7 6,122% 11,870% 17,266% 22,331% 27,086% 31,550% 35,741% 39,675% 43,369%
A6 7,102% 13,700% 19,829% 25,523% 30,812% 35,726% 40,291% 44,531% 48,471%
A5 8,802% 15,510% 22,338% 28,615% 34,384% 39,687% 44,561% 49,041% 53,160%
A4 9,061% 17,301% 24,795% 31,609% 37,806% 43,442% 48,567% 53,227% 57,465%
A3 10,041% 19,073% 27,199% 34,509% 41,085% 47,000% 52,322% 57,109% 61,416%
A2 11,020% 20,826% 29,552% 37,315% 44,223% 50,370% 55,840% 60,706% 65,037%

E' importante saper interpretare questi dati. Innanzitutto, il dato di AQ contro un avversario non significa perdere nel 1,2% dei casi e vincere nel 98,8%, ma è solo ed unicamente la probabilità di avere, o non, l'oppo con il kicker superiore. Infatti, in partenza AQs contro AJo è vincente nel 72,19% contro 22,28%, parità nel 5,52% dei casi.

Sono le stesse identiche le percentuali anche per tutte le altre mani di partenza (Kx, Qx...). Va anche sottolineato, che il numero degli avversari non è quello di oppo che non hanno foldato, bensì quello di oppo a cui sono state distribuite le carte, a prescindere dalle loro mosse successive. Questo potrebbe significare, che un altro giocatore aveva l'asso, ma l'ha foldato comunque, magari non fidandosi del kicker. Analizzate anche tale possibilità.

Coppia contro coppia

Nello stesso modo si può ragionare anche sulle possibilità di avere una coppia superiore. Avendo KK, sono poche le chance, che qualcuno abbia una coppia superiore, perché ce ne una sola, mentre partire con 22 è più rischioso, perché esistono 12 coppie superiori di cui tutte si possono presentare in 6 modi diversi come detto prima. Per non farla troppo lunga e ecco la tabella, che indica la probalilità di fronteggiare una coppia superiore al preflop:

Carte Contro 1 Contro 2 Contro 3 Contro 4 Contro 5 Contro 6 Contro 7 Contro 8 Contro 9
KK 0,49% 0,98% 1,47% 1,96% 2,44% 2,93% 3,42% 3,91% 4,39%
QQ 0,98% 1,95% 2,92% 3,88% 4,84% 5,79% 6,73% 7,66% 8,59%
JJ 1,47% 2,92% 4,36% 5,77% 7,17% 8,56% 9,92% 11,27% 12,59%
TT 1,96% 3,89% 5,78% 7,64% 9,46% 11,24% 12,99% 14,70% 16,37%
99 2,45% 4,84% 7,18% 9,46% 11,68% 13,84% 15,93% 17,95% 19,90%
88 2,94% 5,80% 8,57% 11,25% 13,84% 16,34% 18,73% 21,01% 23,18%
77 3,43% 6,74% 9,94% 13,01% 15,95% 18,74% 21,38% 23,87% 26,19%
66 3,92% 7,69% 11,30% 14,73% 17,99% 21,04% 23,89% 26,51% 28,90%
55 4,41% 8,62% 12,63% 16,42% 19,96% 23,24% 26,23% 28,92% 31,29%
44 4,90% 9,56% 13,95% 18,06% 21,86% 25,32% 28,41% 31,09% 33,34%
33 5,39% 10,48% 15,26% 19,67% 23,70% 27,29% 30,40% 33,00% 35,03%
22 5,88% 11,41% 16,54% 21,24% 25,46% 29,14% 32,22% 34,64% 36,33%

Anche in un tavolo pieno, le probabilità di dover fronteggiare la coppia superiore avendo KK di partenza sono inferiori al 5%. Ma quali sono le probabilità di fronteggiarne due? Ovviamente il minimo indispensabile requisito è avere 2 avversari. Ecco la tabella:

Carte Contro 2 Contro 3 Contro 4 Contro 5 Contro 6 Contro 7 Contro 8 Contro 9
KK <0,001% 0,001% 0,003% 0,004% 0,007% 0,009% 0,012% 0,016%
QQ 0,006% 0,018% 0,037% 0,061% 0,091% 0,128% 0,171% 0,220%
JJ 0,017% 0,051% 0,102% 0,171% 0,257% 0,360% 0,482% 0,621%
TT 0,033% 0,099% 0,200% 0,335% 0,504% 0,709% 0,950% 1,226%
99 0,054% 0,164% 0,330% 0,553% 0,836% 1,177% 1,580% 2,045%
88 0,081% 0,244% 0,493% 0,828% 1,253% 1,769% 2,378% 3,084%
77 0,112% 0,341% 0,689% 1,160% 1,758% 2,487% 3,351% 4,353%
66 0,149% 0,454% 0,918% 1,550% 2,353% 3,335% 4,503% 5,861%
55 0,191% 0,583% 1,182% 1,998% 3,040% 4,318% 5,840% 7,619%
44 0,239% 0,728% 1,480% 2,506% 3,821% 5,438% 7,371% 9,635%
33 0,291% 0,890% 1,812% 3,075% 4,698% 6,699% 9,099% 11,919%
22 0,349% 1,068% 2,180% 3,706% 5,673% 8,107% 11,034% 14,484%

Con KK meno del 0,1%, ma con 22 più del 14%. Pensateci bene, valutando le posizioni, prima di rilanciare con le coppie basse!

Statistiche generali

Forza di una mano può avere valori diversi, ma si possono tracciare delle statistiche e indicare quanto segue:

  • una coppia è vincente nel 83% dei casi contro una mano spaiata, di cui entrambe carte sono inferiori;
  • una coppia è vincente nel 82% dei casi contro una coppia inferiore;
  • una coppia è vincente nel 72% dei casi contro una mano spaiata, composta da una overcard e una undercard;
  • una mano spaiata è vincente nel 63% dei casi contro una mano spaiata, composta da due undercards;
  • una coppia è vincente nel 55% dei casi contro una mano spaiata, composta da due overcards.

E' evidente che AA ha maggiori probabilità contro K8o, che contro KJs, almeno per tre ragioni: chance dell'avversario di completare il colore, la scala e per il semplice fatto del kicker superiore. Quindi le sopra indicate percentuali, hanno un valore relativo, ma indicativo. Si può affermare che l'insieme di coppie è vincente sull'insieme di undercards spaiate nel 83% dei casi, intendendo per l'insieme tutte le variazioni possibili.

Questi dati sono stati indicati nel libro scritto da Dan Harrington, vincitore di due braccialetti alle WSOP. Dan, è l'avvocato fallimentare laureatosi alla Harvard, che negli anni universitari si dice batteva Bill Gates. Purtroppo per lui, Bill Gates all'epoca non era altro che un "povero" studente.

Mano dominata

Una delle situazioni in cui nessuno vorrebbe mai trovarsi è quella in cui la mano è dominata da quella avversaria. A volte vi troverete di fronte all'avversario con una carta dello stesso valore di una delle vostre, detta anche blocker, che crea notevoli problemi, perché si tratta di almeno 3 outs in meno. Per esempio: avete KJ e l'oppo AJ. Supponiamo che tra le prime carte del board ci sia un Jack, che pertanto sia la carta più alta del board. Avreste quindi una top pair, ma l'avversario TPTK. Se gestita male, la situazione potrebbe prendere una brutta piega.

Cose che capitano e a volte è solo sfortuna, ma è importante valutare bene le proprie forze ancora prima di giocarsi le mani marginali. Vi proponiamo un'ultima tabella, dove tutte le 169 mani diverse sono ordinate dalla più forte alla più debole in uno scontro heads up. Le posizioni della classifica sono 169, perché alcune mani sono equivalenti. Combinazioni sono divise anche tra quelle suited (carte dello stesso seme) e offsuite (carte di semi diverse), che sono rispettivamente segnate con s e o minuscole.

1 AA   33 KTo   67 Q5s     106 K6o   139 75o
2 KK   34 A4s   68 86s     107 84s   140 J6o
3 QQ   35 A6s   69 A7o Q4s   108 87o   141 Q3o
4 JJ   36 QTo   71 44     109 T2s   142 J5o
5 AKs   37 A3s K8s 72 A5o 96s 65s 110 63s   143 85o
6 AQs   39 JTo   75 T6s     111 K5o   144 64o
7 TT   40 77   76 J6s     112 97o   145 Q2o
8 KQs   41 A2s   77 Q3s     113 94s   146 J4o
9 AJs   42 Q8s T8s 78 Q2s 75s   114 T7o   147 95o
10 AKo   44 K7s   80 A4o     115 52s   148 53o
11 KJs   45 J8s   81 54s     116 Q7o   149 J3o
12 ATs   46 98s   82 J5s     117 J7o 93s 150 T5o
13 QJs   47 K6s   83 A6o     119 K4o   151 74o
14 KTs   48 66   84 K8o     120 73s   152 T4o
15 AQo   49 K5s   85 33     121 92s   153 J2o
16 99   50 A9o   86 T8o     122 42s   154 43o
17 QTs   51 87s   87 85s     123 76o   155 T3o
18 JTs   52 K4s   88 J4s     124 K3o   156 84o
19 KQo   53 Q7s   89 A3o     125 Q6o 83s 157 63o
20 A9s   54 T7s   90 98o     127 62s   158 T2o
21 AJo   55 97s   91 22     128 86o   159 94o
22 K9s   56 K9o   92 Q8o J8o 64s 129 32s   160 52o
23 88 KJo 57 J7s   95 J3s     130 82s   161 93o
25 A8s   58 K3s   96 K7o 95s   131 K2o   162 73o
26 Q9s   59 T9o   98 T5s     132 65o   163 42o
27 T9s   60 Q6s   99 J2s 53s   133 Q5o   164 92o
28 QJo   61 A8o   101 A2o     134 96o   165 83o
29 J9s   62 55   102 T4s     135 72s   166 62o
30 ATo   63 Q9o J9o 103 74s     136 T6o   167 32o
31 A7s   65 K2s   104 T3s     137 Q4o   168 82o
32 A5s   66 76s   105 43s     138 54o   169 72o

Avrete notato, che le peggiori mani di partenza sono offsuite - tenetene conto anche quando state per giocare KTo. La peggiore mano in assoluto è 72o, non invece 32o come alcuni potrebbero supporre, in quanto le carte non sono connesse per la scala. Benché si tratti della classifica delle mani nello scontro heads up, si può comunque fare alcune deduzioni, soprattutto valutando i dati assieme a quelli delle altre tabelle, anche per scontri tra hero e più oppo.

Non è affatto necessario imparare a memoria questa classifica o altri dati, basta capirli e valutarli di volta in volta, prendendo in considerazione anche altri fattori come posizione al tavolo, stile di gioco avversario e la propria immagine al tavolo. Ma di questo, un'altra volta. Buona fortuna!

Autore: JP, pubblicato il 28 gennaio 2012